LA TEORÍA DE CONJUNTOS Y EL CÁLCULO PROPOSICIONAL

Para evitar las contradicciones que surgen al tratar con conjuntos que pertenecen a sí mismos, qué asumirá en lo qué sigue la existencia de un conjunto U, llamado conjunto universal o referencial, que actúa como garante de que se está trabajando con conjuntos propios que no sé pertenecen a sí mismos. Cualquiera que sea el conjunto con el cual se está trabajando, sus elementos son también elementos de U.

Las proposiciones

Con el mismo ánimo de evitar contradicciones semejantes a las que surgen al considerar afirmaciones como la de Epiménides, es necesario proceder con cuidado y solo tomar como válidas aquellas afirmaciones de las que se pueda decir que son, sin ninguna ambigüedad y sin ninguna otra posibilidad, verdaderas o falsas. Las afirmaciones de este tipo se conocen como proposiciones. Cuando una proposición es verdadera se dice que su valor de verdad es verdadero (V), en el caso contrario se dice que es falso (F).

El cálculo proposicional hace uso de los siguientes elementos:

Conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son los signos: ∨, ∧, ⟸, ⊻, ⟺, qué se leen respectivamente como o, y, implica, o exclusiva y equivale. Su función es conectar entre sí un número finito de proposiciones.

Signos de puntuación. Los signos de puntuación son los paréntesis (...), Qué sirve para asociar y para separar proposiciones.

Símbolos proposicionales. Los símbolos proposicionales son las letras a, b, p, q, r,..., etc. Y se usan para representar proposiciones.

Proposiciones simples y compuestas

Existen las siguientes clases de preposiciones:

Proposiciones simples. Son aquellas proposiciones en las que no figura conectivo alguno. Una teoría de conjuntos, z ∇ A, es una proposición simple que hace uso del símbolo relacionado que se lee pertenece. En otras palabras, "el elemento z pertenece al conjunto A".

Igualmente A = B es una proposición simple en la que aparece el símbolo relacional, qué se lee igual.

Proposiciones compuestas. Aquellas proposiciones en las que figuran uno o más conectivos.

La proposición p ⇒ (q ∧ r), es decir, "p implica a q y a r" es una proposición compuesta.